Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre:
![$y'+y=xe^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2/1.png)
Correction
et a pour solutions
les fonctions
,
.
Faisons varier la constante:
,
alors
et donc
,
d'où
.
Ainsi
est une solution particulière,
et les solutions générales sont
,
.
Correction
L'équation homogène est![$y'+y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/1.png)
![$x\mapsto ke^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/2.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/3.png)
Faisons varier la constante:
![$y(x)=k(x)e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/4.png)
![$y'(x)+y(x)=k'(x)e^{-x}=xe^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/5.png)
![$k'(x)=x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/6.png)
![$k(x)=\dfrac12x^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/7.png)
Ainsi
![$y(x)=\dfrac12x^2e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/8.png)
![$x\mapsto \dfrac12x^2e^{-x}+ke^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/9.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex2_c/10.png)
Tag:Équation différentielle
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