Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants


Colle de mathématiques

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Résoudre: $y'+y=xe^{-x}$


Correction

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L'équation homogène est $y'+y=0$ et a pour solutions les fonctions $x\mapsto ke^{-x}$, $k\in\R$.
Faisons varier la constante: $y(x)=k(x)e^{-x}$, alors $y'(x)+y(x)=k'(x)e^{-x}=xe^{-x}$ et donc $k'(x)=x$, d'où $k(x)=\dfrac12x^2$.
Ainsi $y(x)=\dfrac12x^2e^{-x}$ est une solution particulière, et les solutions générales sont $x\mapsto \dfrac12x^2e^{-x}+ke^{-x}$, $k\in\R$.


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