Suite definie par une integrale généralisée

On définit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{ N}^*}$ par :

$u_n=\dsp\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-x}}{x+\frac{1}{n}} dx$

Justifier que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{ N}^*}$ est bien définie et étudier son sens de variation.
On définit, pour tout $n\in\N^*$ ,

$v_n=\dsp\int_0^{1} \dfrac{e^{-x}}{x+\frac{1}{n}} dx \quad \text{ et }\quad w_n=\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{e^{-x}}{x+\frac{1}{n}} dx$

Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ :

$v_n\geq \dfrac{\ln(n+1)}{e}\quad\text{ et }\quad 0\leq w_n\leq \dfrac{1}{e}$
Donner la limite de la suite .
On cherche maintenant à obtenir un résultat plus précis.
1. Montre que l'intégrale $I=\dsp\int_0^1 \dfrac{1-e^{-x}}{x} dx$ est convergente.
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
  
  $0\leq \dsp\int_0^{1} \dfrac{1-e^{-x}}{x+\frac{1}{n}} dx \leq I$
3. En déduire que :
  
  $\lim\limits_{\substack{n \rightarrow +\infty }} \dfrac{u_n}{\ln(n)}=1$

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