Série exponentielle et termes pairs d'une loi de Poisson


oral HEC, BL - 2022
  1. Calculer la valeur de chacunes des sommes:
    \[S=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2p}}{(2p)!}\]

    et
    \[I=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2p+1}}{(2p+1)!}\]


  2. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé $(\Omega, A, P)$ suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Pour tout $\omega\in\Omega$, on pose
    \[Y(\omega)=\la\begin{array}{lll}
  0 &\text{si}&X(\omega) \text{ est nul ou impair}\\
  X(\omega)/2&\text{si}& X(\omega) \text{ est pair}
  \enar\right.\]

    Déterminer la loi de $Y$. La variable aléatoire $Y$ admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

Correction


Tag:Variables aléatoires continues

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