Série exponentielle et termes pairs d'une loi de Poisson

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

oral HEC, BL - 2022

Calculer la valeur de chacunes des sommes:

$S=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2p}}{(2p)!}$

et

$I=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2p+1}}{(2p+1)!}$
Soit une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé $(\Omega, A, P)$ suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$ . Pour tout $\omega\in\Omega$ , on pose

$Y(\omega)=\la\begin{array}{lll} 0 &\text{si}&X(\omega) \text{ est nul ou impair}\\ X(\omega)/2&\text{si}& X(\omega) \text{ est pair} \enar\right.$

Déterminer la loi de . La variable aléatoire admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.

La série exponentielle est

$e^\lambda=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^p}{p!}$

On remarque alors qu'ici, on a

$S+I=e^\lambda$

tandis que

$S-I=\sum_{p=0}^{+\infty}\dfrac{(-\lambda)^p}{p!}=e^{-\lambda}$

et on trouve alors, par somme et différence,

$S=\dfrac{e^{\lambda}+e^{\lambda}}2=ch(\lambda)$

et

$I=\dfrac{e^{\lambda}-e^{\lambda}}2=sh(\lambda)$
On rappelle que pour une loi de Poisson, on a $P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ .
Ici, on a $Y(\Omega)=\N$ avec

$\begin{array}{ll}P(Y=0)&=P(X=0)+\dsp\sum_{p=1}^{+\infty}P(X=2p+1)\\ &=e^{-\lambda}+\dsp\sum_{p=1}^{+\infty}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{2p+1}}{(2p+1)!} \enar$

soit, grâce à la première question,

$\begin{array}{ll}P(Y=0)&=e^{-\lambda}+e^{-\lambda}\dfrac{e^{\lambda}-e^{\lambda}}2\\ &=e^{-\lambda}\dfrac{2+e^{\lambda}-e^{-\lambda}}2\enar$

et, pour tout entier non nul ,

$\begin{array}{ll}P(Y=k)&=P(X=2k)\\ &=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!}\enar$

L'espérance de , si elle existe, est donnée par

$\begin{array}{ll}E(Y)&=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty} kP(X=k)\\ &=\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}ke^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!}\\ &=e^{-\lambda}\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}k\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!}\enar$

On se ramène à la série exponentielle, à la série plus précisément, pour montrer que la série converge et calculer sa valeur

$\begin{array}{ll}E(Y)&=\dfrac{e^{-\lambda}}2\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}2k\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!}\\ &=\dfrac{\lambda e^{-\lambda}}2\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{2k-1}}{(2k-1)!}\\ &=\dfrac{\lambda e^{-\lambda}}2 I\\ &=\dfrac{\lambda e^{-\lambda}}2 \dfrac{e^{\lambda}-e^{-\lambda}}2\\ &=\dfrac\lambda4(1-e^{-2\lambda}) \enar$

Tag:Variables aléatoires continues

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