Rayon de convergence

Colle de mathématiques

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Séries entièresSéries entières

Énoncé du sujet

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\dsp\sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}$

Correction

Pour

, on a

$\frac{\sqrt nR^{2n}}{2^n+1}\underset{+\infty}{\sim} \sqrt n \left(\frac{R^2}{2}\right)^n$

Ce terme général est borné si et seulement si $\dfrac{R^2}{2}<1$ , soit $R<\sqrt2$ . Le rayon de convergence est donc $\sqrt2$ .

On peut aussi utiliser la règle de d'Alembert en posant $a_n=\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}$ , et alors

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=x^2\sqrt{1+\dfrac1n}\dfrac{2^n+1}{2^{n+1}+1}\underset{+\infty}{\sim}\dfrac{x^2}{2}$

et on retrouve le rayon de convergence de $\sqrt2$ .

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