Rayon de convergence
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
Correction
, on a
![\[\frac{\sqrt nR^{2n}}{2^n+1}\underset{+\infty}{\sim} \sqrt n \left(\frac{R^2}{2}\right)^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC5_c/2.png)
Ce terme général est borné si et seulement si
, soit 
.
Le rayon de convergence est donc 
.
On peut aussi utiliser la règle de d'Alembert en posant
,
et alors
![\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=x^2\sqrt{1+\dfrac1n}\dfrac{2^n+1}{2^{n+1}+1}\underset{+\infty}{\sim}\dfrac{x^2}{2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exRC5_c/7.png)
et on retrouve le rayon de convergence de
.
Correction
Pour, on a
Ce terme général est borné si et seulement si
, soit .
Le rayon de convergence est donc .
On peut aussi utiliser la règle de d'Alembert en posant
,
et alors
et on retrouve le rayon de convergence de
.
Tag:Séries entières
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