Série entière presque géométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
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Énoncé du sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
.

Correction
est le terme général de la série,
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
On pose
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
Il reste maintenant à intégrer.
On décompose en éléments simples
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-x^3}
&=\dfrac1{(1-x)(1+x+x^2)}\\[.7em]
&=\dfrac{\alpha}{1-x}+\dfrac{\beta x+\gamma}{1+x+x^2}\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/9.png)
En multipliant par
puis en prenant
on trouve
.
En multipliant par
et en faisant tendre
, on obtient
,
soit
.
Enfin, en prenant
, on obtient
soit
.
On a donc
![\[g'(x)=\dfrac13\lb\dfrac1{1-x}+\dfrac{x+2}{1+x+x^2}\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/20.png)
Le premier terme s'intègre directement en
.
On décompose encore le second terme:
![\[\dfrac{x+2}{1+x+x^2}
=\dfrac12\tm\dfrac{2x+1}{1+x+x^2}+\dfrac32\tm\dfrac1{1+x+x^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/22.png)
Là aussi le premier terme s'intègre directement en
, pour le second on écrit (classiquement)
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dsp\int\dfrac{dx}{1+x+x^2}\\[1em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\left( x+\dfrac12\rp^2+\dfrac34}\\[2.2em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\dfrac34\left( \dfrac43\left( x+\dfrac12\rp^2+1\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{dx}{\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp^2+1}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/24.png)
Avec le changement de variable
,
donc
, on a
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1} \\[1.2em]
&=\dfrac{2\sqrt3}{3}\arctan(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/27.png)
On a donc finalement obtenu
![\[g(x)=\dfrac13\lb-\ln(1-x)+\dfrac12\ln\lp1+x+x^2\right)
+\sqrt3\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp\rb+C\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/28.png)
où
est une constante d'intégration: comme
, on a
,
or
et donc
.
On a donc obtenu finalement,
![\[\begin{array}{lcl}f(x)&=&\dfrac{g(x)}{x} \\[1.2em]
&=&-\dfrac1{3x}\ln(1-x)+\dfrac1{6x}\ln\lp1+x+x^2\rp\\[.8em]
&&+\dfrac{\sqrt3}{3}\lp\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp-\arctan\lp\dfrac1{\sqrt3}\rp\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/34.png)
Correction
Si


Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que

Soit donc, pour


On pose

On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,

Il reste maintenant à intégrer.
On décompose en éléments simples
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-x^3}
&=\dfrac1{(1-x)(1+x+x^2)}\\[.7em]
&=\dfrac{\alpha}{1-x}+\dfrac{\beta x+\gamma}{1+x+x^2}\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/9.png)
En multipliant par



En multipliant par




Enfin, en prenant



On a donc
![\[g'(x)=\dfrac13\lb\dfrac1{1-x}+\dfrac{x+2}{1+x+x^2}\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/20.png)
Le premier terme s'intègre directement en

On décompose encore le second terme:
![\[\dfrac{x+2}{1+x+x^2}
=\dfrac12\tm\dfrac{2x+1}{1+x+x^2}+\dfrac32\tm\dfrac1{1+x+x^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/22.png)
Là aussi le premier terme s'intègre directement en

![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dsp\int\dfrac{dx}{1+x+x^2}\\[1em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\left( x+\dfrac12\rp^2+\dfrac34}\\[2.2em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\dfrac34\left( \dfrac43\left( x+\dfrac12\rp^2+1\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{dx}{\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp^2+1}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/24.png)
Avec le changement de variable


![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1} \\[1.2em]
&=\dfrac{2\sqrt3}{3}\arctan(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/27.png)
On a donc finalement obtenu
![\[g(x)=\dfrac13\lb-\ln(1-x)+\dfrac12\ln\lp1+x+x^2\right)
+\sqrt3\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp\rb+C\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/28.png)
où





On a donc obtenu finalement,
![\[\begin{array}{lcl}f(x)&=&\dfrac{g(x)}{x} \\[1.2em]
&=&-\dfrac1{3x}\ln(1-x)+\dfrac1{6x}\ln\lp1+x+x^2\rp\\[.8em]
&&+\dfrac{\sqrt3}{3}\lp\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp-\arctan\lp\dfrac1{\sqrt3}\rp\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/34.png)
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