Calcul le DL à l'ordre 3

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

DLDéveloppements limités

Énoncé du sujet

Calculer le développement limité à l'ordre 3 et au voisinage de 0 de la fonction $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1-x}$ .

Correction

On a $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o\left( x^3\rp$ et $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o\left( x^3\rp$ , et donc,

$\begin{array}{ll} \dfrac{\ln(1+x)}{1-x} &=\Bigl(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o\left( x^3\rp\Bigr) \tm\Bigl(1+x+x^2+x^3+o\left( x^3\rp\Bigr)\\[1em] &=x+\dfrac12x^2+\dfrac{5}{6}x^3+o\left( x^3\right) \enar$

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