Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Soit $0\leqslant a\leqslant b$ .

Justifier la convergence de $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$ .
Soit $0\leqslant x\leqslant y$ . Démontrer que $\dsp\int_x^y \dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt =\int_{ax}^{bx}\dfrac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\dfrac{e^{-t}}tdt$ .
Démontrer que, pour tout réel $z\geqslant0$ , $e^{-bz}\ln\dfrac ba \leqslant\dsp\int_{az}^{bz}\dfrac{e^{-t}}tdt \leqslant e^{-az}\ln\frac ba$ .
En déduire que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba$

Correction

Au voisinage de $+\infty$ , puisque $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$ , on a

$\dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}t=O\lp\dfrac1{t^2}\rp$

d'où la convergence de $\dsp\int_1^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$ par comparaison avec une intégrale de Riemann. En 0, un développement limité montre que

$\dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}t=\frac{1-at-1+bt+o(t)}{t} =\dfrac{(b-a)t+o(t)}{t}=(b-a)+o(1)$

et donc que la fonction se prolonge par continuité en 0 (par sa limite ), et l'intégrale converge donc sans problème en 0. L'intégrale sur $[0;+\infty[$ converge donc bien.
Avec les changements de variables $t\mapsto at$ et $t\mapsto bt$ puis par la relation de Chasles :

$\begin{array}{lcl} \dsp\int_x^{y}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt &=&\dsp\int_{ax}^{ay}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{bx}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt\\[1.4em] &=&\dsp\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt+\int_{bx}^{ay}\frac{e^{-t}}tdt -\int_{bx}^{ay}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}{t}dt\\[1.4em] &=&\dsp\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt \enar$
La fonction $t\mapsto e^{-t}$ étant décroissante sur $\R$ , on a, pour tout $t\in[az,bz]$ ,

$e^{-bz}\leq e^{-t}\leq e^{-az}$

puis, en multipliant par et en intégrant:

$\begin{array}{ll} &\dsp\int_{az}^{bz}e^{-bz}dt\leq \int_{az}^{bz}e^{-t}dt\leq \int_{az}^{bz}e^{-az}dt\\[1.5em] \iff & e^{-bz}\ln\dfrac ba \leqslant\dsp\int_{az}^{bz}\dfrac{e^{-t}}tdt \leqslant e^{-az}\ln\frac ba \enar$
Il faut faire tendre, dans le résultat précédent, $z\to0$ et $z\to+\infty$ .
La limite lorsque $z\to0$ est, par le théorème des gendarmes, $\ln\dfrac ba$ , tandis que la limite $z\to+\infty$ est nulle car $a\geqslant0$ et $b\geqslant0$ et donc $\dsp\lim_{z\to+\infty}e^{-az}=\lim_{z\to+\infty}e^{-az}=0$ .
On a vu que

$\int_x^{y}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt =\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt$

et donc,

$\begin{array}{ll} \dsp\int_x^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt &=\dsp\lim_{y\to+\infty}\int_x^y\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt\\[1.4em] &=\dsp\lim_{y\to+\infty}\lp\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt\rp\\[1.4em] &=\dsp\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt-0\enar$

puis,

$\begin{array}{ll}\dsp\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt &\dsp=\lim_{x\to0}\int_x^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt\\[1.4em] &\dsp=\lim_{x\to0}\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}{t}dt =\ln\dfrac ba\enar$

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