Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable

Soit $0\leqslant a\leqslant b$ .

Justifier la convergence de $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$ .
Soit $0\leqslant x\leqslant y$ . Démontrer que $\dsp\int_x^y \dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt =\int_{ax}^{bx}\dfrac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\dfrac{e^{-t}}tdt$ .
Démontrer que, pour tout réel $z\geqslant0$ , $e^{-bz}\ln\dfrac ba \leqslant\dsp\int_{az}^{bz}\dfrac{e^{-t}}tdt \leqslant e^{-az}\ln\frac ba$ .
En déduire que $\dsp\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba$

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