Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit .
- Justifier la convergence de .
- Soit . Démontrer que .
- Démontrer que, pour tout réel ,
.
En déduire que
Correction
Correction
- Au voisinage de , puisque et ,
on a
d'où la convergence de par comparaison avec une intégrale de Riemann. En 0, un développement limité montre que
et donc que la fonction se prolonge par continuité en 0 (par sa limite ), et l'intégrale converge donc sans problème en 0. L'intégrale sur converge donc bien. - Avec les changements de variables et
puis par la relation de Chasles :
- La fonction étant décroissante sur , on a,
pour tout ,
puis, en multipliant par et en intégrant:
- Il faut faire tendre, dans le résultat précédent,
et .
La limite lorsque est, par le théorème des gendarmes, , tandis que la limite est nulle car et et donc .
On a vu que
et donc,
puis,
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