Loi exponentielle symétrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
On considère une variable aléatoire dont la densité est donnée par
- Calculer .
- Démontrer que admet des moments de tout ordre. Les calculer.
Correction
Correction
- est continue et positive, et il faut aussi que
.
On calcule l'intégrale en séparant par la relation de Chasles et et on trouve . - On a, pour tout , en , ce qui prouve la convergence de l'intégrale.
La fonction est impaire si est impair; on en déduit que les moments d'ordre impair sont nuls.
On peut calculer les moments d'ordre pair par récurrence. Pour , posons , de sorte que . Alors, en intégrant par parties (deux fois), on trouve
On en déduit que .
On calcule par ailleurs , ce qui nous donne les moments d'ordre pair: .
Tag:Variables aléatoires continues
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