Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
et
les ensembles
et
.
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup/1.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup/2.png)
![$F=\left\{ (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\right\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup/3.png)
![$G=\left\{ (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\right\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup/4.png)
- Montrer que
et
sont des sous-espaces vectoriels de
.
- Déterminer
.
-
et
sont-ils supplémentaires ?
Correction
et
les ensembles
et
.
Correction
Soit![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup_c/1.png)
![$G$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup_c/2.png)
![$F=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\ra$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup_c/3.png)
![$G=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\ra$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevsup_c/4.png)
- Si
et
alors
avec
, c'est-à-dire
.
De même, siet
alors
avec
et
et
.
- Soit
, donc
et
, ainsi
et
.
- On peut raisonner avec des bases de
et
:
est une base de
, et
en est une pour
.
On remarque (et montre) queest une base de
, ce qui montre que
et
sont supplémentaires.
Tag:Espace vectoriel
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