Sous-espaces vectoriels supplémentaires


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Soit $F$ et $G$ les ensembles $F=\left\{ (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\right\}$ et $G=\left\{ (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\right\}$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^3$.
  2. Déterminer $F\cap G$.
  3. $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires ?



Correction

Correction

Soit $F$ et $G$ les ensembles $F=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (a;a;a)\in\R^3, a\in\R\ra$ et $G=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} (b+c;b;c)\in\R^3, b\in\R,c\in\R\ra$.
  1. Si $V(a;a;a)$et $V\left( a';a';a'\rp$ alors $(\alpha V+\beta V')(z;z;z)$ avec $z=\alpha a+\beta a'\in\R$, c'est-à-dire $(\alpha V+\beta V')\in F$.
    De même, si $V(b+c;b;c)$ et $V'(b'+c';b';c')$ alors $(\alpha V+\beta V')(x;y;z)$ avec $y=\alpha b+\beta b'$ et $z=\alpha c+\beta c'$ et $x=\alpha (b+c)+\beta(b'+c')=y+z$.
  2. Soit $V\in F\cap G$, donc $V(a;a;a)$ et $a=a+a$, ainsi $a=0$ et $F\cap G=\emptyset$.
  3. On peut raisonner avec des bases de $F$ et $G$: $e_1(1;1;1)$ est une base de $F$, et $\left( e_2(1;1;0);e_3(1;0;1)\rp$ en est une pour $G$.

    On remarque (et montre) que $(e_1;e_2;e_3)$ est une base de $\R^3$, ce qui montre que $F$ et $G$ sont supplémentaires.


Tag:Espace vectoriel

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