Probabilité de naissances


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

On suppose que le nombre $N$ d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda\geqslant0$. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est $p\in ]0,1[$ et celle que ce soit un garçon est $q=1-p$. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et $Y$ celle du nombre de garçons.
  1. Déterminer la loi conjointe du couple $(N,X)$.
  2. En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.



Correction

Correction

  1. Pour $n$ naissances, les lois de $X$ et $Y$ sont des lois binomiales de paramètres $n$ et respectivement $p$ et $q$.
    En d'autres termes, on a la probabilité conditionnelle
    \[P(X=k|N=n)=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} \begin{array}{cll}\dsp\binom{n}{k}p^kq^{n-k}&\text{ si } k\leqslant n\\[1em] 0 &\text{ si } k>n\enar\right.\]

    On en déduit que
    \[\begin{array}{ll}P(N=n,X=k)&=P(X=k|N=n)P(N=n)\\[.6em] &=\la\begin{array}{cl}\dsp\binom{n}{k} p^k q^{n-k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}&\text{ si } k\leqslant n\\[1em] 0&\text{ sinon}\enar\right. \enar\]

  2. On déduit la loi marginale de $X$ à partir de la loi du couple :
    \[\begin{array}{lcl} P(X=k)&=&\dsp\sum_{n\geq k} P(X=k,N=n)\\ &=&\dsp\sum_{n\geq k}\frac{e^{-\lambda}\lambda^np^k q^{n-k}}{k!(n-k)!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{n-k}q^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}\dsp\sum_{m=0}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{m}q^{m}}{m!}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k p^k}{k!}e^{\lambda q}\\[1em] &=&\dfrac{e^{-\lambda p}(\lambda p)^k}{k!} \enar\]


    Ainsi, $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda p$. De même, $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda q$.


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