Deux équations du second degré


Colle de mathématiques

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Résoudre dans $\C$ les équations $z^2-2\overline{z}-1=0$ et $z^2-2\overline{z}+1=0$


Correction

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On pose $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$, alors
\[\begin{array}{ll} z^2-2\overline{z}-1=0 &\iff \Bigl(x^2-y^2-2x-1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em] &\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x-1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right. \enar\]

La 2ème équation se réécrit $2y(x-1)=0$ et nous donne donc l'alternative $y=0$ ou $x=1$.
Si $y=0$, la 1ère équation devient $x^2-2x-1=0$ qui est du 2nd degré de discriminant $\Delta=8>0$ et donc de racines $x_1=\dfrac{2-\sqrt8}{2}=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$.
Si $x=1$, la 1ère équation devient $-y^2-2=0\iff y^2+2=0$ qui n'a pas de solution dans $\R$.
Il y a donc deux solutions, qui sont réelles: $z_1=1-\sqrt2$ et $z_2=1+\sqrt2$.


De même, pour la 2ème équation, avec $z=x+iy$,
\[\begin{array}{ll} z^2-2\overline{z}+1=0 &\iff \Bigl(x^2-y^2-2x+1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em] &\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x+1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right. \enar\]


La 2ème équation toujours $y=0$ ou $x=1$.
Si $y=0$, la 1ère équation se réécrit $x^2-2x+1=(x-1)^2=0\iff x=1$
Si $x=1$, la 1ère équation se réécrit $-y^2=0\iff y=0$.
Il y ainsi aussi une seule solution: $z_1=1$.


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