Limite d'une racine n-ième
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Étudier la limite de la suite
définie par
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6/1.png)
![$u_n=\sqrt[n]{n^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6/2.png)
Correction
.
Par croissances comparées, on sait que
.
Ainsi
et donc
.
Correction
On a![$\ln\left( u_n\rp=\ln\left(\sqrt[n]{n^2}\rp
=\dfrac1n\ln\left( n^2\right)
=\dfrac{2}{n}\ln\left( n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6_c/1.png)
Par croissances comparées, on sait que
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6_c/2.png)
Ainsi
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\ln\left( u_n\rp=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6_c/3.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex6_c/4.png)
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