Suites récurrentes couplées
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Déterminer l'expression, en fonction de , des termes généraux et
des suites et définies par
avec et .
avec et .
Correction
La suite est alors géométrique et alors, pour tout entier , .
Il reste donc à calculer les puissances de la matrice .
On peut à cette fin diagonaliser (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de est
Ainsi, admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
On a alors avec la matrice diagonale et la matrice de passage et son inverse .
On obtient alors,
, avec , et donc,
soit donc finalement,
Correction
On pose et , alors et le système s'écrit .La suite est alors géométrique et alors, pour tout entier , .
Il reste donc à calculer les puissances de la matrice .
On peut à cette fin diagonaliser (qui est une matrice symétrique réelle, donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de est
Ainsi, admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3: . Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par .
On a alors avec la matrice diagonale et la matrice de passage et son inverse .
On obtient alors,
, avec , et donc,
soit donc finalement,
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