Comportement asymptotique de l'espérance du max de lois exponentielles


Soit $n>1$ un entier et $(X_i)$ des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On pose:
\[M_n = \max\left( X_1 , \dots , X_n\rp\]

  1. Montrer que $M_n$ admet une densité, qu'on déterminera et qu'on représentera graphiquement.
  2. Montrer que l’intégrale $\dsp\int_0^{+\infty} \left( 1-\left(1-e^{-u}\rp^n\rp\,du$ converge.
  3. Déterminer la valeur de la limite de $\dfrac{E\left[ M_n\right]}{\ln(n)}$ quand $n\to+\infty$. Indication : on pourra utiliser, sans preuve, le fait que $E[Y]=\dsp\int_0^{+\infty}P(Y\geqslant u)\,du$ pour toute variable aléatoire positive $Y$ faire un changement de variable dans l’intégrale.

Correction


Tag:Variables aléatoires continues

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