Calcul de limite: composée ln et sin


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DLDéveloppements limités

Énoncé du sujet

Déterminer la limite en 0 de: $f(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln\lp\dfrac{\sin x}{x}\rp$


Correction

Correction

En 0 on a
\[\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^3\rp\]

et donc,
\[f(x)=\dfrac{1}{x^2}\ln\lp\dfrac{\sin x}{x}\right)
=\dfrac1{x^2}\ln\lp1-\dfrac{x^2}6+o\lp x^2\rp\rp\]

puis en utilisant le développement limité du logarithme en 0,
\[f(x)=\dfrac1{x^2}\left(
-\dfrac{x^2}6+o\left( x^2\rp\rp
=-\dfrac16+o(1)\]

ce qui montre la limite
\[\lim_{x\to0}(x)=-\dfrac16\]



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