Décomposition harmonique d'un signal triangulaire
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit la fonction 2-périodique et paire définie par,
pour tout .
- Déterminer la série de Fourier de .
- En déduire la somme puis la somme .
Correction
Correction
-
- La fonction est 2-périodique, continue sur
et affine par morceaux
avec,
pour tout , .
La fonction est paire et donc, pour tout entier , - sa valeur moyenne est aussi nulle:
- La pulsation est et alors,
pour tout entier , on a
soit, en intégrant par parties,
et donc, puisque ,
enfin, comme , on obtient donc que les coefficients de rang pair sont nuls: et ceux de rang impair valent
- Comme est continue sur , on obtient pour tout réel,
- La fonction est 2-périodique, continue sur
et affine par morceaux
avec,
pour tout , .
- On en déduit en particulier, pour , que
d'où
et alors, pour la somme de Riemann, en décomposant termes pairs/impairs,
On trouve donc , soit .
Tag:Série de Fourier
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