Base de l'image et du noyau d'une application linéaire
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
On considère l'application linéaire 
de 
dans 
définie par
![\[f(x,y,z)=(x+z,y-x,z+y,x+y+2z)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exALbaseIm/4.png)
de
dans définie par
- Déterminer une base de
.
- Déterminer une base de
.
- L'application
est-elle injective? surjective?
Correction
Correction
- On sait que
est une famille génératrice de 
.
En utilisant la définition de
, on a :
![\[\begin{array}{lcl}
f(e_1)&=&(1,-1,0,1)\\
f(e_2)&=&(0,1,1,1)\\
f(e_3)&=&(1,0,1,2)\\
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exALbaseIm_c/4.png)
On peut alors chercher à savoir si cette famille est libre ou non.
On peut alors remarquer que
c'est-à-dire que 
est combinaison linéaire de 
.
Ainsi, la famille
est liée, et la famille des deux vecteurs 
est même déjà génératrice de 
.
Cette famille de deux vecteurs est de plus libre car ces deux vecteurs sont non-nuls et ne sont pas colinéaires. On en déduit que
est une base de 
.
- On a :
![\[\begin{array}{ll}
&(x,y,z)\in\ker(f)\\[.5em]\iff& f(x,y,z)=(0,0,0,0)\\[.6em]
\iff&\left\{}\newcommand{\ra}{\right\}
\begin{array}{rcl}
x+z&=&0\\
-x+y&=&0\\
y+z&=&0\\
x+y+2z&=&0\\
\enar\right.\\[2.5em]
\iff&\left\{}\newcommand{\ra}{\right\}
\begin{array}{rcl}
x+z&=&0\\
y+z&=&0\\
y+z&=&0\\
y+z&=&0\\
\enar\right.\\[2.5em]
\iff&\left\{}\newcommand{\ra}{\right\}
\begin{array}{rcl}
x&=&-z\\
y&=&-z\\
z&=&z
\enar\right.\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exALbaseIm_c/13.png)
On en déduit que le vecteur
engendre 
.
Comme il est non-nul, c'est une base de 
(qui est donc de dimension 1, ce que l'on peut aussi obtenir en utilisant le théorème du rang)
-
n'est pas injective, car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul.
n'est pas surjective, car
![\[\text{rg}(f)=\text{dim(Im(f)}=2\not=\text{dim}\lp\R^4\rp=4\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exALbaseIm_c/19.png)
ce qui montre que l'image de
n'est pas 
tout entier.
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