Projecteurs, noyaux et égalité d'ensemble
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- Applications linéairesApplications linéaires
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
et
deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant
.
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP3/1.png)
![$q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP3/2.png)
![$\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP3/3.png)
- Que peut-on dire de
?
- On note
. Montrer que
.
Correction
Correction
- Pour tout
,
, et donc, comme
, on a
soit
.
Ainsi,est l'application nulle.
- Soit
, alors
.
On a donc,- en y appliquant
:
et ainsi.
- de même, en y appliquant
:
soit, comme,
, et donc
.
On a donc obtenu que si, alors
, en d'autres termes:
.
Il reste à montrer l'inclusion dans l'autre sens.
Soit, alors
et donc,
, d'où
, et donc
.
On a donc finalement montré que.
- en y appliquant
Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel
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![Lancer de dés](/Colles/des.png)
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