Projecteurs, noyaux et égalité d'ensemble


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $p$ et $q$ deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant $\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)$.
  1. Que peut-on dire de $q\circ p$ ?
  2. On note $r=p+q-p\circ q$. Montrer que $\text{Ker}(r)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$.



Correction

Correction

  1. Pour tout $x$, $y=p(x) \in\text{Im}(p)$, et donc, comme $\text{Im}(p)\subset \text{Ker}(q)$, on a $y\in\text{Ker}(q)$ soit $q(y)=q(p(x))=q\circ p(x)=0$.
    Ainsi, $q\circ p$ est l'application nulle.
  2. Soit $x\in\text{Ker}(r)$, alors $r(x)=p(x)+q(x)-p\circ q(x)=0$.
    On a donc,
    • en y appliquant $p$:
      \[\begin{array}{lcl} &&p\Bigl(p(x)+q(x)-p\circ q(x)\Bigr)=p(0)=0\\[.3em] &\Longrightarrow& p^2(x)+p(q(x))-p^2(q(x))=0\\[.3em] &\Longrightarrow& p(x)+p(q(x))-p(q(x))=0 \\[.3em] &\Longrightarrow& p(x)=0 \\ \enar\]

      et ainsi $x\in\text{Ker}(p)$.
    • de même, en y appliquant $q$:
      \[\begin{array}{lcl} &&q\Bigl(p(x)+q(x)-p\circ q(x)\Bigr)=q(0)=0\\[.3em] &\Longrightarrow& q(p(x))+q^2(x)-q(p(q(x)))=0 \enar\]

      soit, comme $q\circ p=0$, $q^2(x)=q(x)=0$, et donc $x\in\text{Ker}(q)$.

    On a donc obtenu que si $x\in\text{Ker}(r)$, alors $x\in \text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$, en d'autres termes: $\text{Ker}(r)\subset\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$.

    Il reste à montrer l'inclusion dans l'autre sens.
    Soit $x\in\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$, alors $p(x)=q(x)=0$ et donc, $r(x)=p(x)+q(x)-p(q(x))=0$, d'où $x\in\text{Ker}(r)$, et donc $\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)\subset\text{Ker}(r)$.


    On a donc finalement montré que $\text{Ker}(r)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)$.


Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel

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