Nature de l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Étudier la nature de l'intégrale
![$\dsp\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2/1.png)
Correction
est continue sur
.
Il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en
.
On compare pour cela à une intégrale Riemann:
en
, en posant
et par croissances comparées, on a
,
ce qui signifie que, en
,
.
Or,
est intégrable en
, et donc
l'intégrale est convergente.
Correction
![$x\mapsto e^{-x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/1.png)
![$[0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/2.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/3.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/4.png)
![$X=x^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/5.png)
![$\dfrac{e^{-x^2}}{\frac1{x^2}}=x^2e^{-x^2}=\dfrac{X}{e^X}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/6.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/7.png)
![$e^{-x^2}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/8.png)
Or,
![$x\mapsto\dfrac1{x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/9.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN2_c/10.png)
Tag:Intégrale
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