Projection du plan sur un cercle


Soit $A$ le point d'affixe 1 du plan complexe. On considère la transformation $p$ de plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et distinct de $A$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$.
  1. Déterminer les antécédents de $A$ par la transformation $p$.
  2. Calculer le module de $z'$.
  3. Démontrer que les points $A$, $M$ et $M'$ sont alignés.
  4. En déduire une construction de $M'$.

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