Expression explicite d'une suite récurrente


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$, $u_1=1$ et pour tout entier $n$, $u_{n+2}-u_{n+1}-6u_n=0$.
Montrer que, pour tout entier $n$, $u_n=(-2)^n+3^n$.


Correction

Correction

On peut démontrer cette formule par récurrence sur $n$.
Pour $n=0$, $(-2)^0+3^0=1+1=2=u_0$ et $(-2)^1+3^1=-2+3=1=u_1$, ce qui montre que la formule est vraie aux rangs 0 et 1.

Soit un entier $n$, et supposons que la formule soit vraie aux rangs $n$ et $n+1$ (on pourrait aussi supposer que la formule est vraie pour tout entier $k\leqslant n+1$), c'est-à-dire que $u_n=(-2)^n+3^n$ et $u_{n+1}=(-2)^{n+1}+3^{n+1}$.

Au rang suivant $n+1$ on a alors
\[\begin{array}{ll}u_{n+2}&=u_{n+1}+6u_n\\[.5em] &=\lp(-2)^{n+1}+3^{n+1}\rp+6\lp(-2)^n+3^n$ \rp\\[.7em] &=(-2)^n\lp-2+6\rp+3^n\lp3+6\rp\\[.5em] &=(-2)^n\tm2^2+3^n\tm3^2\\[.5em] &=(-2)^{n+2}+3^{n+2} \enar\]

et la formule est encore vraie.

On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $u_n=(-2)^n+3^n$.


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