Expression explicite d'une suite récurrente
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- RécurrenceDémonstration par récuurrence
Énoncé du sujet
Soit
la suite définie par
,
et pour tout entier
,
.
Montrer que, pour tout entier
,
.





Montrer que, pour tout entier


Correction
.
Pour
,
et
, ce qui montre que
la formule est vraie aux rangs 0 et 1.
Soit un entier
, et supposons que la formule soit vraie
aux rangs
et
(on pourrait aussi supposer que la formule est vraie pour tout entier
),
c'est-à-dire que
et
.
Au rang suivant
on a alors
![\[\begin{array}{ll}u_{n+2}&=u_{n+1}+6u_n\\[.5em]
&=\lp(-2)^{n+1}+3^{n+1}\rp+6\lp(-2)^n+3^n$ \rp\\[.7em]
&=(-2)^n\lp-2+6\rp+3^n\lp3+6\rp\\[.5em]
&=(-2)^n\tm2^2+3^n\tm3^2\\[.5em]
&=(-2)^{n+2}+3^{n+2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/12.png)
et la formule est encore vraie.
On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier
,
.
Correction
On peut démontrer cette formule par récurrence sur
Pour



Soit un entier






Au rang suivant

![\[\begin{array}{ll}u_{n+2}&=u_{n+1}+6u_n\\[.5em]
&=\lp(-2)^{n+1}+3^{n+1}\rp+6\lp(-2)^n+3^n$ \rp\\[.7em]
&=(-2)^n\lp-2+6\rp+3^n\lp3+6\rp\\[.5em]
&=(-2)^n\tm2^2+3^n\tm3^2\\[.5em]
&=(-2)^{n+2}+3^{n+2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/12.png)
et la formule est encore vraie.
On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier


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