Endomorphisme antisymétrique


Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$. Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est dit antisymétrique si

\[\forall x,y\in E,\ \langle u(x),y\rangle=-\langle x,u(y)\rangle\]

  1. Montrer que $u$ est antisymétrique si et seulement si, pour tout $x\in E$, $\langle x,u(x)\rangle=0$.

    Dans la suite, $u$ est un endomorphisme antisymétrique,
  2. Démontrer que $\text{Im}(u)=(\ker u)^\perp$.
  3. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Démontrer que $F^\perp$ est stable par $u$.
  4. Montrer que $\ker(u)=\ker(u^2)$.
  5. Démontrer que le spectre de $u$ est soit vide, soit restreint à $\{0\}$.
  6. Montrer que les valeurs propres de $u^2$ sont négatives.

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Tag:Espaces euclidiens

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