Logarithme d'une loi uniforme

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit

une variable aléatoire de loi uniforme sur

.
Démontrer que la variable aléatoire $X=-\ln U$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

Correction

On calcule la fonction de répartition de

. On a $X\leqslant x \iff U\geq \exp(-x)$ , puisque la fonction $x\mapsto \exp(-x)$ est décroissante. On a donc

$P(X\leqslant x)=P(U\geq \exp(-x))$

Si $x\leqslant0$ , alors $\exp(-x)\geqslant1$ et donc $P(X\leqslant x)=0$ .
Si $x\geqslant 0$ , alors $\exp(-x)\in[0,1]$ et donc, puisque

suit une loi uniforme à valeurs dans

$P(X\leqslant x)=1-\exp(-x)$

et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (ou en dérivant pour retrouver la densité).

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