Somme de 2 lois de Poisson

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires discrètesVariables aléatoires discrètes

Énoncé du sujet

Soit

deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$ .
Démontrer que

suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$ .

Correction

On cherche à déterminer la loi de probabilité de

, c'est-à-dire les probabilités $P\left( Z=k\rp$ pour tout entier

.
L'événement

est la réunion disjointe des événements

pour $0\leqslant l\leqslant k$ .
On a donc, par indépendance des variables aléatoires,

$\begin{array}{lcl} P(Z=k)&=&\dsp\sum_{l=0}^k P\Bigl(\left( X=l\rp\cap\left( Y=k-l\rp\Bigr)\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{l=0}^k P(X=l)\,P(Y=k-l)\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}\\[1.2em] &=&e^{-(\lambda+\mu)}\dsp\sum_{l=0}^k \dfrac1{l!(k-l)!}\lambda^l\mu^{k-l} \enar$

On voit alors apparaître la formule du binôme de Newton de

$(\lambda+\mu)^k=\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}$

avec les coefficients binomiaux

$\binom kl=\dfrac{k!}{l!(k-l)!}$

et on a donc alors

$\begin{array}{lcl}P(Z=k)= &=&\dsp\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\[1.2em] &=&\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k\enar$

ce qui montre que la variable aléatoire

suit bien une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$ .

Tag:Variables aléatoires discrètes

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