Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soit une matrice non nulle
et nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire telle que .
- Donner une relation d'inclusion entre et et en déduire que .
- Quelles sont les valeurs propres de ? est-elle diagonalisable ?
Correction
Correction
- Soit , alors il existe tel que
et donc , d'où .
On vient ainsi de montrer que .
On en déduit en particulier que . Le théorème du rang nous donne par ailleurs que
et donc . On en déduit donc que .
- Soit une valeur propre de .
Il existe alors , , tel que .
On obtient alors que et donc que , soit : la seule valeur propre possible pour est .
Si était diagonalisable, serait semblable à la matrice nulle (la matrice diagonale avec que des valeurs nulles dans la diagonale...), et donc serait nulle, ce qui n'est pas le cas.
n'est donc as diagonalisable.
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