Supplémentaire de l'ensemble des fonctions affines


Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$, et $F=\left\{f\in\mathcal{F}(\R,\R) ; f(0)=f(1)=0\right\}$ et $G=\left\{x\mapsto ax+b:\ a,b\in\mathbb R\right\}$.
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{F}(\mathbb R,\mathbb R)$.
  2. Démontrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
  3. Soit $h\in\mathcal{F}(\mathbb R,\mathbb R)$. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par $f(x)=h(x)-(ax+b)$ vérifie $f\in F$.
  4. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathcal{F}(\R,\R)$.

Correction


Tag:Espace vectoriel

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