Supplémentaire de l'ensemble des fonctions affines


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$, et $F=\left\{f\in\mathcal{F}(\R,\R) ; f(0)=f(1)=0\right\}$ et $G=\left\{x\mapsto ax+b:\ a,b\in\mathbb R\right\}$.
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{F}(\mathbb R,\mathbb R)$.
  2. Démontrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
  3. Soit $h\in\mathcal{F}(\mathbb R,\mathbb R)$. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par $f(x)=h(x)-(ax+b)$ vérifie $f\in F$.
  4. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathcal{F}(\R,\R)$.



Correction

Correction

  1. On montre que ces sous-espaces sont stables par combinaison linéaire.
    Soit $f,g\in F$. Alors $(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0$ et $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0$, ce qui montre que $f+g\in F$.
    De même, pour tout $\lambda\in\R$, on a $(\lambda f)(0)=\lambda f(0)=0$ et $(\lambda f)(1)=\lambda f(1)=0$ ce qui montre cette fois que $\lambda\in F$.
    On en déduit donc que $F$ est stable par combinaison linéaire et donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R,\R)$.

    De la même façon, on prouve que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R,\R)$.
    Si $f(x)=ax+b$ et $g(x)=a'x+b'$, alors $(f+g)(x)=(a+a')x+(b+b')$ et donc $(f+g)\in G$, et de même $(\lambda f)(x)=(\lambda a)x+(\lambda b)$ donc $(\lambda f)\in G$.
    Ainsi, $G$ est aussi un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R,\R)$.
  2. Soit $f\in F\cap G$. Alors il existe $a,b\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax+b$. Puisque $f(0)=0$, on a forcément $b=0$. Puis, puisque $f(1)=a\times1=0$, on a aussi $a=0$. Ainsi, $f=0$ et on a bien $F\cap G=\{0\}$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont en somme directe.
  3. On a $f(0)=h(0)-b=0$, et donc $b=h(0)$. On a $f(1)=h(1)-(a+b)=h(1)-h(0)-a$, et donc $f(1)=0$ dès que $a=h(1)-h(0)$.
  4. Soit $h\in\mathcal F(\R,\R)$. En suivant la question précédente, on pose $a=h(1)-h(0)$ et $b=h(0)$ et la fonction $f(x)=h(x)-(ax+b)$.
    On a alors, d'après la question précédente, $f\in F$. De plus, on peut écrire pour tout $x\in\R$,
    \[h(x)=f(x)+g(x)\]

    avec $f\in F$ et $g:x\mapsto ax+b\in G$. On en déduit que $h\in F+G$ et donc que $F+G=\mathcal F(\R,\R)$.
    Comme on a aussi vu précédemment que $F\cap G=\{0\}$, on en déduit maintenant que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathcal F(\R,\R)$.


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