Égalité des noyaux et images de 3 endomorphismes définis par compositions circulaires
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soit
,
et
trois endomorphismes d'un même espace vectoriel
tels que
,
et
.
Montrer que
,
et
ont même noyau et même image.







Montrer que



Correction
et donc, si
c'est-à-dire
donc
donc
et ainsi
.
De même, en permuttant circulairement, à partir de
on obtient
et de
on tire
.
Finalement, on a obtenu
ce qui montre que tous ces noyaux sont égaux.
Concernant les images, soit par exemple
c'est-à-dire qu'il existe
tel que
avec
et
donc
, d'où
En permuttant à nouveau circulairement,
et
.
Finalement, on a obtenu
![\[\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/20.png)
ce qui montre que toutes ces images sont égales.
Correction






De même, en permuttant circulairement, à partir de




Finalement, on a obtenu

Concernant les images, soit par exemple






En permuttant à nouveau circulairement,


Finalement, on a obtenu
![\[\text{Im}(h)\subset\text{Im}(f)\subset\text{Im}(g)\subset\text{Im}(h)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL8_c/20.png)
ce qui montre que toutes ces images sont égales.
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