Résolution d'une équation différentielle à l'aide d'un développement en série entière

Colle de mathématiques

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Équation différentielleÉquation différentielle

Énoncé du sujet

On considère l'équation différentielle

où $y:\R\mapsto\R$ désigne la fonction inconnue supposée deux fois dérivables.

Chercher une solution développable en série entière.
Résoudre directement en effectuant le changement de variable pour $x\geqslant0$ .

Correction

On considère l'équation différentielle

où $y:\R\mapsto\R$ désigne la fonction inconnue supposée deux fois dérivable.

On suppose que est développable en série entière, dont on précisera le rayon de convergence ultérieurement et on supposera que par la suite,

$y(x)=\sum_{n\geqslant0}a_nx^n$

alors est dérivable, terme à terme pour et

$y'(x)=\sum_{n\geqslant1}na_nx^{n-1}$

et

$y''(x)=\sum_{n\geqslant2}n(n-1)a_nx^{n-2}$

On a alors

$\begin{array}{llcl}&4xy''+2y'-y=0\\[.5em] \iff&\dsp\sum_{n\geqslant2}4n(n-1)a_nx^{n-1} +\sum_{n\geqslant1}2na_nx^{n-1} -\sum_{n\geqslant0}a_nx^n&=&0\\[.8em] \iff&\dsp\lp-a_0+2a_1\rp+\sum_{n\geqslant2}\Bigl(4n(n-1)a_n+2na_n-a_{n-1}\Bigr)x^{n-1}&=&0 \enar$

d'où on tire: puis, pour tout entier $n\geqslant2$ ,

$4n(n-1)a_n+2na_n-a_{n-1}=0$

ou encore

$a_n=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}a_{n-1}$

On trouve alors, par une récurrence immédiate

$\begin{array}{ll}a_n&=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}a_{n-1}\\[.8em] &=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}\tm\dfrac1{2(n-1)(2n-3)}a_{n-2}\\[.8em] &=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}\tm\dfrac1{(2n-2))(2n-3)}a_{n-2}\\[.8em] &= \ \dots \\[.5em] &=\dfrac{2}{(2n)!}a_1\\[.8em] &=\dfrac1{(2n)!}a_0\enar$

Ainsi,

$y(x)=a_0\sum_{n\geqslant2}\dfrac1{(2n)!}x^n$

On peut exprimer cette série à l'aide de fonctions usuelles: c'est le développement du cosinus hyperbolique.
On retrouve aussi cela à partir du développement de l'exponentielle: ici seuls les termes pairs sont présents:

$\sum_{n\geqslant2}\dfrac1{(2n)!}x^n =\dfrac12\lp\sum_{n\geqslant2}\dfrac{(\sqrt{x})^n}{n!} +\sum_{n\geqslant2}\dfrac{(-\sqrt{x})^n}{n!}\right)$

et ainsi, $y(x)=\dfrac{a_0}{2}\left( e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}\rp$ .

Enfin, le rayon de convergence est infini, ce qui justifie, a posteriori les calculs effectués (dérivabilité de la série, et drivation terme à terme).
Réciproquement, on vérifie bien que cette fonction est solution de .
Soit et $u(t)=y(x)=y\left( t^2\rp$ , alors $u'(t)=2ty'\left( t^2\rp$ , puis $u''(t)=2y'\left( t^2\rp+4t^2y''\left( t^2\rp$ .
Ainsi, , et on a donc, d'après , , équation qui se résout facilement en $u(t)=Ae^t+Be^{-t}=y\left( t^2\rp$ .
On en déduit que $y(t)=Ae^{\sqrt{t}}+Be^{-\sqrt{t}}$ .

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