Résolution d'une équation différentielle à l'aide d'un développement en série entière


Colle de mathématiques

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On considère l'équation différentielle $(E): 4xy''+2y'-y=0$ où $y:\R\mapsto\R$ désigne la fonction inconnue supposée deux fois dérivables.
  1. Chercher une solution développable en série entière.
  2. Résoudre directement $(E)$ en effectuant le changement de variable $x=t^2$ pour $x\geqslant0$.



Correction

Correction

On considère l'équation différentielle $(E): 4xy''+2y'-y=0$ où $y:\R\mapsto\R$ désigne la fonction inconnue supposée deux fois dérivable.
  1. On suppose que $y$ est développable en série entière, dont on précisera le rayon de convergence $R$ ultérieurement et on supposera que $|x|<R$ par la suite,
    \[y(x)=\sum_{n\geqslant0}a_nx^n\]

    alors $y$ est dérivable, terme à terme pour $|x|<R$ et
    \[y'(x)=\sum_{n\geqslant1}na_nx^{n-1}\]

    et
    \[y''(x)=\sum_{n\geqslant2}n(n-1)a_nx^{n-2}\]

    On a alors
    \[\begin{array}{llcl}&4xy''+2y'-y=0\\[.5em] \iff&\dsp\sum_{n\geqslant2}4n(n-1)a_nx^{n-1} +\sum_{n\geqslant1}2na_nx^{n-1} -\sum_{n\geqslant0}a_nx^n&=&0\\[.8em] \iff&\dsp\lp-a_0+2a_1\rp+\sum_{n\geqslant2}\Bigl(4n(n-1)a_n+2na_n-a_{n-1}\Bigr)x^{n-1}&=&0 \enar\]

    d'où on tire: $a_1=a_0/2$ puis, pour tout entier $n\geqslant2$,
    \[4n(n-1)a_n+2na_n-a_{n-1}=0\]

    ou encore
    \[a_n=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}a_{n-1}\]

    On trouve alors, par une récurrence immédiate
    \[\begin{array}{ll}a_n&=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}a_{n-1}\\[.8em] &=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}\tm\dfrac1{2(n-1)(2n-3)}a_{n-2}\\[.8em] &=\dfrac1{2n\left( 2n-1\right)}\tm\dfrac1{(2n-2))(2n-3)}a_{n-2}\\[.8em] &= \ \dots \\[.5em] &=\dfrac{2}{(2n)!}a_1\\[.8em] &=\dfrac1{(2n)!}a_0\enar\]

    Ainsi,
    \[y(x)=a_0\sum_{n\geqslant2}\dfrac1{(2n)!}x^n\]

    On peut exprimer cette série à l'aide de fonctions usuelles: c'est le développement du cosinus hyperbolique.
    On retrouve aussi cela à partir du développement de l'exponentielle: ici seuls les termes pairs sont présents:
    \[\sum_{n\geqslant2}\dfrac1{(2n)!}x^n =\dfrac12\lp\sum_{n\geqslant2}\dfrac{(\sqrt{x})^n}{n!} +\sum_{n\geqslant2}\dfrac{(-\sqrt{x})^n}{n!}\right) \]

    et ainsi, $y(x)=\dfrac{a_0}{2}\left( e^{\sqrt{x}}+e^{-\sqrt{x}}\rp$.

    Enfin, le rayon de convergence est infini, ce qui justifie, a posteriori les calculs effectués (dérivabilité de la série, et drivation terme à terme).
    Réciproquement, on vérifie bien que cette fonction est solution de $(E)$.
  2. Soit $x=t^2$ et $u(t)=y(x)=y\left( t^2\rp$, alors $u'(t)=2ty'\left( t^2\rp$, puis $u''(t)=2y'\left( t^2\rp+4t^2y''\left( t^2\rp$.
    Ainsi, $u''(t)=2y'(x)+4xy''(x)$, et on a donc, d'après $(E)$, $u''(t)-u(t)=0$, équation qui se résout facilement en $u(t)=Ae^t+Be^{-t}=y\left( t^2\rp$.
    On en déduit que $y(t)=Ae^{\sqrt{t}}+Be^{-\sqrt{t}}$.


Tags:Séries entièresÉquation différentielle

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