Variante du théorème des accroissements finis


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a;b[$, telle que $f(a)=f(b)=0$, et soit $\alpha$ à l'extérieur de $[a;b]$.
En introduisant la fonction $g$ définie sur $[a;b]$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-\alpha}$, montrer qu'il existe $c$ dans $]a;b[$ tel que $f'(c) =\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$.
Donner une interprétation géométrique de la fonction $g$ et énoncer le résultat obtenu sous forme géométrique.


Correction

Correction

$g$ est, comme $f$, continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$, avec, comme pour $f$ aussi, $g(a)=g(b)=0$.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, il existe $c\in]a;b[$ tel que
\[g'(c)=\dfrac{f'(x)}{c-\alpha}-\dfrac{f(c)}{(c-\alpha)^2}=0\]

soit exactement, $f'(c) =\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$.

Graphiquement, $f'(c)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $c$, tandis que $\dfrac{f(c)}{c-\alpha}$ est le coefficient directeur de la droite passant par $A(\alpha;0)$ et $C(c;f(c))$.
Graphiquement, on peut tracer une tangente à la courbe de $f$ en partant du point $A$.
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,6) \psline{->}(-1,0)(8,0) \psline{->}(-.5,-1)(-.5,5) \psplot{2}{6}{-1 x -4 add 2 exp mul 4 add} \psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$a$} \psline(6,.1)(6,-.1)\rput(6,-.3){$b$} \psline(.5,.1)(.5,-.1)\rput(.5,-.3){$\alpha$}\rput(.4,.3){$A$} \psline(.5,0)(5.25,6) \psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,3.56)\rput(3.3,-.3){$c$} \rput(3.2,3.7){$C$} \end{pspicture}\]



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