Minimisation, moindres carrés et équations normales
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
Énoncé du sujet
Soit
et
deux entiers naturels avec
.
On munit
du produit scalaire canonique et on identifie
avec
.
On considère une matrice
de rang
et
.
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/1.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/2.png)
![$p\leq n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/3.png)
![$\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/4.png)
![$\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/5.png)
![$\mathcal{M}_{n,1}(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/6.png)
![$A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/7.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/8.png)
![$B\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex6/9.png)
- Démontrer qu'il existe une unique matrice
de
telle que
- Montrer que
est l'unique solution de
.
- Application : déterminer
Correction
Correction
- Puisque
est de rang
, l'application
qui va de
dans
est injective.
Or,est la distance de
à
.
Cette distance est atteinte uniquement par le projeté orthogonal sur(qui est de dimension finie) de
. Ce projeté orthogonal, unique, appartenant à
, s'écrit donc de façon unique
.
- On a
est donc bien l'unique solution de
.
- Posons
, et
.
On vérifie que le rang deest
. La borne inférieure est donc atteinte en
solution de
.
Or
On vérifie queet
, et donc l'inf recherché vaut
.
Tag:Espaces euclidiens
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