Décomposition de Fourier d'une exponentielle périodique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit la fonction -périodique telle que
pour .
- Représenter graphiquement sur .
- Déterminer la série de Fourier de .
- En déduire la valeur de la somme .
Correction
Correction
Soit la fonction 2-périodique définie par sur .-
- La fonction est 2-périodique donc de pulsation .
Sa valeur moyenne est
Pour tout entier , en intégrant par parties,
et on trouve ici l'expression des autres coefficients :
et donc, d'une part , et d'autre part, en intégrant par parties ,
Enfin, on y retrouve l'expression de et donc, avec , on trouve
On a donc obtenu le système
d'où on tire
On en déduit que pour tout réel , ,
- En , on a
duquel on tire que
Tag:Série de Fourier
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