Produit de la densité et fonction de repartition d'une loi normale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
- Calculer sachant que
- Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Soit la densité et la fonction de répartition de . Pour tout réel , on pose .- Quelle relation a-t-on entre et ?
- Quelle est la valeur de pour que soit la densité d'une variable aléaltoire ?
- Calculer l'espérance et la variance de .
Correction
Correction
- En intégrant par parties,
car .
- Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Soit la densité et la fonction de répartition de . Pour tout réel , on pose .- On a et alors,
en posant et donc ,
puis, comme est paire, ,
- On a clairement pour tout réel ,
et on souhaite donc aussi que
On pose .
1ère méthode: avec un changement de variable.
Comme précédemment, avec le changement de variable , on a
et donc, en utilisant la parité de et la relation de la question précédente
et on trouve donc que .
On doit donc avoir .
2ème méthode: avec une intégration par parties.
On a et donc
et alors
car et .
On trouve donc que nécessirement .
- L'espérance de est
On se rappelle que et donc , et que les fonctions de densité et de répartition sont reliées par .
On peut donc penser à intégrer par parties avec et , donc et , et on a donc
Comme et et , on a
et donc
La variance de est
avec
or
et alors
et donc, finalement,
- On a et alors,
en posant et donc ,
Tag:Variables aléatoires continues
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