Recherche de fonctions avec une propriété intégrale


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Déterminer les fonctions $f:[0;1]\to[0;1]$ continues et telles que $\dsp\int_0^1f(x)dx=\int_0^1f^2(x)dx$.


Correction

Correction

Par linéarité,
\[\int_0^1f(x)dx=\int_0^1f^2(x)dx \iff \int_0^1\Bigl(f(x)-f^2(x)\Bigr)dx= \int_0^1 f(x)\Bigl(1-f(x)\Bigr)dx=0\]


Or, sur $[0;1]$, $f(x)\in[0;1]$ et donc, en particulier, $f(x)\geqslant0$ et $1-f(x)\geqslant0$, d'où on doit avoir nécessairement, pour tout $x\in[0;1]$, $f(x)\Bigl(1-f(x)\Bigr)=0$, soit $f(x)=0$ ou $f(x)=1$.
Comme $f$ est continue, on a alors nécessairement $f=0$ sur $[0,1]$ ou $f=1$ sur $[0;1]$.

Réciproquement, ces deux fonctions $f=0$ et $f=1$ conviennent bien.


Remarque: bien sûr, si $f$ n'est pas supposée continue, la fonction définie par $f(x)=0$ si $0\leqslant x\leqslant a$ et $f(x)=1$ si $a< x\leqslant 1$ convient aussi pour tout $a\in]0;1[$.


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