Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • LimiteLimites de suites et de fonctions
  • Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto e^x-1-x$ pour démontrer que:
\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}\]




Correction

Correction

On applique le théorème des accroissements finis à $f$ définie par $f(x)=e^x-1-x$: il existe $c\in]0;x[$ tel que
\[f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)=x\left( e^c-1\rp\]

On applique une deuxième fois le théorème des accroissements finis, à la fonction $g$ définie par $g(x)=e^x-1$, sur $]0;c[$: il existe $d\in]0;c[$ tel que
\[g(c)-g(0)=(c-0)g'(d) \iff e^c-1=ce^d\]

En résumé, on a obtenu, avec $0<d<c<x$,
\[f(x)-f(0)=e^x-1-x=x\left( e^c-1\rp=xce^d<x^2e^x\]



Tags:LimiteRolle - AF

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