Somme et différence de suites arithmétique et géométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par, pour $n\in\N$, $u_n=\dfrac{2^n+3n-5}{2}$ et $v_n=\dfrac{2^n-3n+5}{2}$.
  1. Que peut-on dire des suites $(u_n+v_n)$ et $(u_n-v_v)$ ?
  2. En déduire $\dsp\sum_{k=0}^n u_k$ et $\dsp\sum_{k=0}^n v_k$.



Correction

Correction

  1. Pour tout entier $n$, on a $w_n=u_n+v_n=2^n$ et $z_n=u_n-v_n=3n-5$.
    Ainsi $\left( w_n\rp$ est géométrique et $\left( z_n\rp$ est arithmétique.
  2. On a alors, $\dsp\sum_{k=0}^n w_k=\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1$ et $\dsp\sum_{k=0}^nz_k=(n+1)\dfrac{z_0+z_n}{2}=\dfrac{(n+1)(3n-10)}{2}$.
    Comme $u_n=\dfrac{w_n+z_n}{2}$ et $v_n=\dfrac{w_n-z_n}{2}$, on en déduit que
    \[\sum_{k=0}^n u_k=\dfrac12\sum_{k=0}^n w_n+\dfrac12\sum_{k=0}^nz_n 
  \text{ et }
  \sum_{k=0}^n v_k=\dfrac12\sum_{k=0}^n w_n-\dfrac12\sum_{k=0}^nz_n\]



Tags:SuitesSommes

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0