Nombre de racines d'un polynôme (suivant la parité de son degré)


Colle de mathématiques

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Soit, pour un entier $n$, le polynôme $P(x)=2x^{n+2}-(n+2)x^2+14$.
Montrer que si $n$ est pair $P$ admet au plus quatre racines réelles distinctes, tandis que si $n$ est impaire $P$ admet au plus trois racines réelles distinctes.


Correction

Correction

On a
\[P'(x)=2(n+2)x^{n+1}-2(n+2)x=2(n+2)x\left( x^n-1\rp\]

  • Si $n$ est pair, l'équation $x^n=1$ admet deux racines réelles, $1$ et $-1$, et donc $P'$ admet exactement trois racines réelles: $0$, $1$ et $-1$.
    Si $P$ admettait plus de quatre récines réelles distinctes, donc au moins cinq: $P(x_1)=P(x_2)=P(x_3)=P(x_4)=P(x_5)=0$, alors d'après le théorème de Rolle appliqué quatre fois sur chaque intervalle $[x_i;x_{i+1}]$, $P'$ aurait quatre racines distinctes.
    Or nous venons de voir que $P'$ n'avait que trois racines; c'est donc impossible, et $P$ a au plus quatre racines réelles distinctes.
  • On procède de même si $n$ est impair.
    Cette fois par contre l'équation $x^n=1$ n'admet qu'une seul solution, $x=1$, et $P'$ n'a donc que deux racines réelles $0$ et $1$, et $P$ pas plus de trois racines réelles distinctes.


Tags:Rolle - AFPolynôme

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