Équation polynomiale de degré 3


Colle de mathématiques

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On considère l'équation $(E):z^3-(3+i)z^2+(3+4i)z+(1-3i)=0$
  1. Vérifier que $i$ est une racine de $(E)$.
  2. Résoudre alors $(E)$.



Correction

Correction

$z=i$ est bien une solution de $(E)$ et on trouve alors la factorisation: $(E): (z-i)\left( z^2-3z+(3+i)\rp=0$.
L'expression du 2nd degré a un discriminant $\Delta=-3-4i$ dont on extrait une racine carrée complexe $\delta^2=(a+ib)^2=\Delta=-3-4i$, donc $\la\begin{array}{lcl} a^2-b^2&=&-3 \\ 2ab&=&-4 \\ a^2+b^2&=&5 \enar\right.$.
On trouve ainsi $\delta=1-2i$ ou $\delta=-1+2i$ et les deux racines $z_1=1+i$ et $z_2=2-i$.


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