Recherche de fonctions avec une propriété intégrale


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $f:[a;b]\to\R$ continue et telle que $|f(x)|\leqslant1$.
On sait de plus que $\dsp\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$ ?


Correction

Correction

On remarque que $\dsp\int_a^b f(x)dx=b-a=\int_a^b1dx$, ou encore, par soustraction et linéarité, $\dsp\int_a^b (1-f(x))dx=0$.
Comme pour tout $x\in[a;b]$, $|f(x)|\leqslant1$, on a pour tout $x\in[a;b]$, $1-f(x)\geqslant0$ avec $x\mapsto1-f(x)$ continue sur $[a;b]$; on a donc nécessairement $1-f=0$ ou encore $f=1$.


Remarque, ou autre méthode: on peut réécrire dès le début
\[\dsp\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)dx=1\]

c'est-à-dire que la valeur moyenne de $f$ est 1. Or $f$ est continue et toujours inférieure ou égale à 1, donc nécessairement $f(x)=1$ pour tout $x\in[a;b]$.
La démonstration rigoureuse est alors celle donnée précedemment.


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