Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit
continue et telle que
.
On sait de plus que
.
Que dire de
?
![$f:[a;b]\to\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1/1.png)
![$|f(x)|\leqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1/2.png)
On sait de plus que
![$\dsp\int_a^b f(x)dx=b-a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1/4.png)
Correction
,
ou encore, par soustraction et linéarité,
.
Comme pour tout
,
, on a pour tout
,
avec
continue sur
;
on a donc nécessairement
ou encore
.
Remarque, ou autre méthode: on peut réécrire dès le début
![\[\dsp\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)dx=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/11.png)
c'est-à-dire que la valeur moyenne de
est 1.
Or
est continue et toujours inférieure ou égale à 1, donc nécessairement
pour tout
.
La démonstration rigoureuse est alors celle donnée précedemment.
Correction
On remarque que![$\dsp\int_a^b f(x)dx=b-a=\int_a^b1dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/1.png)
![$\dsp\int_a^b (1-f(x))dx=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/2.png)
Comme pour tout
![$x\in[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/3.png)
![$|f(x)|\leqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/4.png)
![$x\in[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/5.png)
![$1-f(x)\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/6.png)
![$x\mapsto1-f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/7.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/8.png)
![$1-f=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/9.png)
![$f=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/10.png)
Remarque, ou autre méthode: on peut réécrire dès le début
![\[\dsp\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)dx=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/11.png)
c'est-à-dire que la valeur moyenne de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/12.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/13.png)
![$f(x)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/14.png)
![$x\in[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR1_c/15.png)
La démonstration rigoureuse est alors celle donnée précedemment.
Tag:Intégrale
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