Min et max de deux lois exponentielles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit
et
deux variables aléatoires indépendantes suivant
une loi exponentielle
de paramètres respectifs
et
.
On pose
.





- Pour tout réel
, calculer
. En déduire que
suit une loi exponentielle de paramètre
.
- Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier?
- En moyenne, après combien de temps sort le dernier.
Correction
Correction
- On va commencer par calculer
. Si
, alors
(car
est à valeurs dans
).
Sinon, pour, on a
et de même,
est à valeurs positives, donc
si
. Si
, alors
grâce à l'indépendance deet
, et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre
.
- On cherche
, avec
et
. L'espérance de
est donc
- On cherche l'espérance de
, où
est la variable aléatoire définie cette fois par
, On peut procéder comme à la question précédente en cherchant la fonction de répartition de
, ou remarquer que pour tout nombre
et
on a
soit ici
En prenant l'espérance, et par linéarité, on trouve
Tag:Variables aléatoires continues
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