Min et max de deux lois exponentielles

Soit et deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres respectifs et . On pose .

1. Pour tout réel , calculer . En déduire que suit une loi exponentielle de paramètre .
2. Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier?
3. En moyenne, après combien de temps sort le dernier.

Correction