"Astroïde" trigonométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Courbes paramétréesCourbes paramétrées
Énoncé du sujet
Étudier et tracer la courbe
d'équations paramétriques
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)=\cos^3t \\
y(t)=\sin^3t
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2/2.png)
![$\mathcal{C}$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2/1.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)=\cos^3t \\
y(t)=\sin^3t
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2/2.png)
Correction
et
sont
-périodiques,
on peut donc restreindre le domaine d'étude à
.
On remarque ensuite que
et
.
On peut donc restreindre le domaine d'étude à
, on déduira le
reste de la courbe par une symétrie d'axe
.
De plus
et
.
On peut à nouveau réduire l'intervalle d'étude à
,
puis faire une symétrie d'axe
.
Enfin, on a
et
. On peut donc encore réduire l'intervalle d'étude à
, puis faire une symétrie par rapport
à la première bissectrice du repère.
Étudions maintenant les fonctions
et
sur l'intervalle
.
Elles y sont dérivables, de dérivée
![\[x'(t)=-3\cos^2 t \sin t\textrm{ et }y'(t)=3\sin^2 t \cos t.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/19.png)
Ceci permet de dresser le tableau suivant :
![\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$t$ & 0 && $\frac\pi4$ \\\hline
$x'(t)$ & 0 & $-$ & \\\hline
&1&&\\
x&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\\hline
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\
y&&\Large{$\nearrow$}&\\
&0&&\\\hline
$y'(t)$ & 0 & $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/20.png)
Le point correspondant à
, de coordonnée
,
est donc un point stationnaire.
On détermine la tangente en ce point en étudiant la limite de
lorsque
tend vers 0:
![\[\frac{y'(t)}{x'(t)}=\tan t\to 0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/25.png)
En
, la courbe admet donc une tangente horizontale.
On peut vérifier à l'aide de développements limités que
est
un point de rebroussement de première espèce pour la courbe.
On obtient finalement le tracé suivant :
![\[\psset{xunit=4cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\rput(0.05,-0.1){$0$}
\parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{6.28}{
t 180 mul 3.14 div cos 3 exp
t 180 mul 3.14 div sin 3 exp
}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/28.png)
Correction
Les fonctions![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/1.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/2.png)
![$2\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/3.png)
![$[-\pi,\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/4.png)
![$y(-t)=-y(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/5.png)
![$x(-t)=x(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/6.png)
![$[0,\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/7.png)
![$(Ox)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/8.png)
![$x(\pi-t)=-x(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/9.png)
![$y(\pi-t)=y(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/10.png)
![$[0,\pi/2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/11.png)
![$(Oy)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/12.png)
![$x(\pi/2-t)=y(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/13.png)
![$y(\pi/2-t)=x(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/14.png)
![$[0,\pi/4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/15.png)
Étudions maintenant les fonctions
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/16.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/17.png)
![$[0,\pi/4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/18.png)
![\[x'(t)=-3\cos^2 t \sin t\textrm{ et }y'(t)=3\sin^2 t \cos t.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/19.png)
Ceci permet de dresser le tableau suivant :
![\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$t$ & 0 && $\frac\pi4$ \\\hline
$x'(t)$ & 0 & $-$ & \\\hline
&1&&\\
x&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\\hline
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\
y&&\Large{$\nearrow$}&\\
&0&&\\\hline
$y'(t)$ & 0 & $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/20.png)
Le point correspondant à
![$t=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/21.png)
![$(1,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/22.png)
On détermine la tangente en ce point en étudiant la limite de
![$y'(t)/x'(t)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/23.png)
![$t$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/24.png)
![\[\frac{y'(t)}{x'(t)}=\tan t\to 0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/25.png)
En
![$(1,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/26.png)
![$(1,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/27.png)
On obtient finalement le tracé suivant :
![\[\psset{xunit=4cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\rput(0.05,-0.1){$0$}
\parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{6.28}{
t 180 mul 3.14 div cos 3 exp
t 180 mul 3.14 div sin 3 exp
}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/28.png)
Tag:Courbes paramétrées
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