"Astroïde" trigonométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Étudier et tracer la courbe $\mathcal{C}$ d'équations paramétriques
\[\la\begin{array}{ll} x(t)=\cos^3t \\ y(t)=\sin^3t \enar\right.\]




Correction

Correction

Les fonctions $x$ et $y$ sont $2\pi$-périodiques, on peut donc restreindre le domaine d'étude à $[-\pi,\pi]$. On remarque ensuite que $y(-t)=-y(t)$ et $x(-t)=x(t)$. On peut donc restreindre le domaine d'étude à $[0,\pi]$, on déduira le reste de la courbe par une symétrie d'axe $(Ox)$. De plus $x(\pi-t)=-x(t)$ et $y(\pi-t)=y(t)$. On peut à nouveau réduire l'intervalle d'étude à $[0,\pi/2]$, puis faire une symétrie d'axe $(Oy)$. Enfin, on a $x(\pi/2-t)=y(t)$ et $y(\pi/2-t)=x(t)$. On peut donc encore réduire l'intervalle d'étude à $[0,\pi/4]$, puis faire une symétrie par rapport à la première bissectrice du repère.
Étudions maintenant les fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $[0,\pi/4]$. Elles y sont dérivables, de dérivée
\[x'(t)=-3\cos^2 t \sin t\textrm{ et }y'(t)=3\sin^2 t \cos t.\]

Ceci permet de dresser le tableau suivant :

\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $t$ & 0 && $\frac\pi4$ \\\hline $x'(t)$ & 0 & $-$ & \\\hline &1&&\\ x&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\\hline &&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\ y&&\Large{$\nearrow$}&\\ &0&&\\\hline $y'(t)$ & 0 & $+$ & \\\hline \end{tabular}\]


Le point correspondant à $t=0$, de coordonnée $(1,0)$, est donc un point stationnaire.
On détermine la tangente en ce point en étudiant la limite de $y'(t)/x'(t)$ lorsque $t$ tend vers 0:
\[\frac{y'(t)}{x'(t)}=\tan t\to 0.\]

En $(1,0)$, la courbe admet donc une tangente horizontale. On peut vérifier à l'aide de développements limités que $(1,0)$ est un point de rebroussement de première espèce pour la courbe.
On obtient finalement le tracé suivant :
\[\psset{xunit=4cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2) \psaxes{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2) \rput(0.05,-0.1){$0$} \parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{6.28}{ t 180 mul 3.14 div cos 3 exp t 180 mul 3.14 div sin 3 exp } \end{pspicture}\]



Tag:Courbes paramétrées

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