Nature de l'intégrale …

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Énoncé du sujet

Étudier la nature de l'intégrale $\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}dx$

Correction

$x\mapsto\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}$ est continue sur $[0;+\infty[$ . Seul se pose donc le problème de la convergence de l'intégrale en $+\infty$ .
Or, en $+\infty$ , $\dfrac{\frac{xe^{-x}}{1+x^2}}{\frac1{x^2}}=x^2\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2} \sime^{-x}\to0$ , ce qui signifie que, en $+\infty$ , $\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$ .
Or $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ est le terme d'une intégrale de Riemann convergente, et il en est donc de même pour notre intégrale.

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