Suite récurrente et série
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SériesSéries
Énoncé du sujet
Soit une suite de nombres réels tels que et pour tout .
- Montrer que pour tout .
- Montrer que converge vers une limite qu'on déterminera.
- Montrer que la série converge et calculer la somme
Correction
Correction
D'après Ulm 2017- On peut le montrer par récurrence.
Initialement, , puis, si pour un entier quelconque on a ,
alors, comme pour tout réel on a et par stricte croissance du logarithme,
ce qui montre que la propriété est héréditaire.
Ainsi, d'après le principe de récurrence, on a bien pour tout entier . - Pour tout entier , on a
c'est-à-dire que
car donc
Ainsi, cette suite est décroissante.
Comme elle est de plus minorée par 0, on en conclut qu'elle converge vers une limite .
Cette limite vérifie de plus, par passage à la limite dans la relation de récurrence (ou point fixe),
Cette suite converge donc vers 0. - On a, pour tout entier ,
Ainsi, la série est télescopique avec, plus précisément,
avec et
d'où
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