Somme matrice plus nilpotente


Soit une matrice $N\in M_n(\R)$ pour laquelle il existe $k\in\N$ tel que $N^k=0$.
  1. Donner un exemple d'une telle matrice.
  2. Trouver les valeurs propres de $N$.
  3. La matrice $N$ est-elle diagonalisable ?
  4. Soit $A\in M_n(\R)$ une autre matrice.
    1. On suppose que $A$ commute avec $N$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $A+N$ est inversible.
    2. Montrer que ce n'est plus vrai si $A$ et $N$ ne commutent pas. (on pourra chercher un contre-exemple avec $n=2$).
  5. On suppose ici que $N^{n-1}\not=0$ et $N^n=0$. On prend $X_0\in\R^n$ tel que $N^{n-1}X_0\not=0$. Montrer que $\left( X_0, NX_0, \dots , N^{n-1}X_0\rp$ forme une base de $\R^n$. Écrire $N$ dans cette base.

Correction


Tag:Diagonalisation

Autres sujets au hasard: Lancer de dés
LongPage: h2: 0 - h3: 0