Fonction de deux variables sur un domaine borné


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\biggl\{(x,y)\in\R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\biggr\}$. On note de plus $\Gamma$ le bord de $D$.
  1. Représenter $D$ et $\Gamma$.
  2. Déterminer les points critiques de $f$.
  3. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
  4. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.



Correction

Correction

  1. Le domaine $D$ est délimité par les deux paraboles d'équation $y=1-x^2$ et $y=x^2-1$. Son bord $\Gamma$ comporte deux parties: la partie "haute", paramétrée par $y=1-x^2$, $-1\leq x\leq 1$, et la partie basse, paramétrée par $y=x^2-1$, $-1\leq x\leq 1$.
    \[\psset{unit=2cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2) \newcommand{\f}[1]{1 #1 2 exp sub} \newcommand{\g}[1]{x 2 exp 1 sub} \pscustom{ \psplot{-1}{1}{\f{x}} \gsave \psplot{-1}{1}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore } \psline{->}(-1.2,0)(1.3,0) \psline{->}(0,-1.2)(0,1.3) \psplot[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{-1}{1}{\f{x}} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{-1}{1}{\g{x}} \rput(.8,.7){\red$\Gamma$} \end{pspicture}\]


  2. Pour déterminer les points critiques de $f$, on calcule d'abord les dérivées partielles du premier ordre. On trouve :
    $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2xy+2x=2x(1-y)\textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-x^2.$$

    Un point $(x,y)$ est un point critique si $(x,y)=(0,0)$ ou si $(x,y)$ est solution du système
    \[\la\begin{array}{rcl} 1-y&=&0\\ 2y&=&x^2. \enar\right.\]

    On en déduit que $f$ admet trois points critiques qui sont $(0,0)$, $(-\sqrt 2,1)$ et $(\sqrt 2,1)$.
    $f$ admet donc un seul point critique dans $D$.
  3. Le bord $\Gamma$ est en deux parties, d'équations $y=1-x^2$ et $y=x^2-1$.
    On étudie donc les valeurs prises par $f$ sur ce bord, en posant $g(x)=f(x,1-x^2)$, pour $x\in[-1,1]$ et $h(x)=f(x,x^2-1)$ pour $x\in [-1,1]$.
    On obtient, après simplifications,
    \[\begin{array}{lcl} g(x)&=&1-2x^2+2x^4\\ h(x)&=&1. \enar\]

    Il suffit donc d'étudier $g$, et par parité, on peut se restreindre à l'étudier sur $[0,1]$. En calculant la dérivée, on voit facilement que $g$ est décroissante sur $[0,1/\sqrt 2]$ et est croissante sur $[1/\sqrt 2,1]$. De plus, $g(0)=g(1)=1$ et $g(1/\sqrt 2)=1/2$. On en déduit que le minimum de $f$ sur $\Gamma$ est $1/2$, et son maximum est $1$.
  4. Les extrema de $f$ sur $D$ sont ou bien atteints sur le bord, ou bien atteints en un extrémum local de $f$ situé dans $D$, donc en un point critique de $f$ dans $D$. Puisque $f(0,0)=0$, on en déduit que $f$ admet 0 comme minimum sur $D$, et $1$ comme maximum.


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