Factorisation d'un polynôme bicarré en facteurs réels


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

On considère le polynôme $P(z)=z^4+6z^2+25$.
  1. Déterminer les racines de $P$.
  2. En déduire que $P$ peut s'écire comme le produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels.



Correction

Correction

On considère le polynôme $P(z)=z^4+6z^2+25$.
  1. On pose $Z=z^2$, et $P(Z)$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=-64=(8i)^2$, et admet donc deux racines complexes conjuguées $Z_1=z_1^2=-3+4i$ et $Z_2=\overline{Z_1}$.
    Soit $z_1=a+ib$, alors $Z_1=-3+4i=z_1^2=(a+ib)^2 \iff \la\begin{array}{l} a^2-b^2=-3\\ 2ab=4\\ a^2+b^2=5\enar\right. \iff \la\begin{array}{l} a^2=1 \\ b^2=4 \\ ab=2>0\enar\right.$.
    On trouve donc $z_1=1+2i$ ou $z_1=-1-2i$.
    De même avec $Z_2=z_2^2$, on touve $z_2=-1+2i$ ou $z_2=1-2i$.
  2. On en déduit que $P(z)=(z-(1+2i))(z-(1-2i))(z-(-1+2i))(z-(-1-2i)) =\left( z^2-2z+5\rp\left( z^2+2z+5\rp$


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