Démonstration d'une propriété intégrale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Montrer que pour toute fonction
continue sur
on a
![\[\int_0^\pi xf\lp\sin x\rp\,dx=\pi\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin x\rp\,dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4/1.png)
![$[-1;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4/2.png)
![\[\int_0^\pi xf\lp\sin x\rp\,dx=\pi\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin x\rp\,dx\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4/3.png)
Correction
.
Comme dans toutes les intégrales de l'égalité le terme
semble invariant, cela nous incite à trouver un changement de variable qui laisse effectivement invariant ce terme, donc invariant le sinus (n'ayant pas d'autre information sur
).
On pose donc
, et donc
et, comme justement
,
![\[\begin{array}{ll}
I&\dsp=-\int_\pi^0\lp\pi-u\right) f\lp\sin u\right)\,du\\
&=\dsp\int_0^\pi\lp\pi-u\right) f\lp\sin u\right)\,du \\
&=\dsp\pi\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du-\int_0^\pi u f\lp\sin u\rp\,du\\
&=\dsp\pi\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du-I\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/7.png)
On en déduit donc que
ou encore que
.
Il reste maintenant à découper l'intervalle d'intégration pour arriver à l'égalité recherchée:
![\[\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du
=\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du+\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/10.png)
et avec à nouveau le changement de variable
dans la dernière intégrale:
![\[\begin{array}{ll}\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,du&=\dsp-\int_{\frac\pi2}^0f\p\sin v\rp\,dv\\
&\dsp=\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,dv\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/12.png)
et donc,
![\[\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du=2\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/13.png)
d'où l'égalité recherchée:
![\[I=\dfrac\pi2\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du=\pi\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/14.png)
Correction
Soit![$I=\dsp\int_0^\pi xf\lp\sin x\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/1.png)
Comme dans toutes les intégrales de l'égalité le terme
![$f\lp\sin x\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/2.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/3.png)
On pose donc
![$u=\pi-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/4.png)
![$du=-dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/5.png)
![$\sin u=\sin\lp\pi-x\rp=\sin x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/6.png)
![\[\begin{array}{ll}
I&\dsp=-\int_\pi^0\lp\pi-u\right) f\lp\sin u\right)\,du\\
&=\dsp\int_0^\pi\lp\pi-u\right) f\lp\sin u\right)\,du \\
&=\dsp\pi\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du-\int_0^\pi u f\lp\sin u\rp\,du\\
&=\dsp\pi\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du-I\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/7.png)
On en déduit donc que
![$2I=\dsp\pi\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/8.png)
![$I=\dsp\dfrac\pi2\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/9.png)
Il reste maintenant à découper l'intervalle d'intégration pour arriver à l'égalité recherchée:
![\[\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du
=\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du+\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/10.png)
et avec à nouveau le changement de variable
![$v=\pi-u$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/11.png)
![\[\begin{array}{ll}\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,du&=\dsp-\int_{\frac\pi2}^0f\p\sin v\rp\,dv\\
&\dsp=\int_{\frac\pi2}^\pi f\lp\sin u\rp\,dv\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/12.png)
et donc,
![\[\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du=2\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/13.png)
d'où l'égalité recherchée:
![\[I=\dfrac\pi2\int_0^\pi f\lp\sin u\rp\,du=\pi\int_0^{\frac\pi2} f\lp\sin u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR4_c/14.png)
Tag:Intégrale
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