Fonction avec sinus et cosinus hyperbolique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Étudier les variations de la fonction
.
![$f:x\mapsto2\cosh^2x-\sinh2x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper/1.png)
Correction
, avec
donc
,
et
donc
.
Ainsi
En revenant à l'écriture exponentielle, cette expression s'écrit aussi,
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=4\tm\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\tm\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
-2\tm\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\left( e^x-e^{-x}\rp\tm\left( e^x+e^{-x}\rp
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=\left( e^{2x}-e^{-2x}\right)
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=-2e^{-2x}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/7.png)
Ainsi, pour tout réel
,
et donc
est strictement décroissante sur
.
Remarque: On remarque de plus que
avec
,
et donc
, pour une certaine constante
.
Enfin, comme
et
, on en déduit que
,
soit que
, pour tout réel
.
Remarque, suite:
![\[\begin{array}{ll}
f(x)
&=2\cosh^2x-\sinh2x\\
&=2\lp\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\rp^2-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{2}-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/21.png)
Enfin, comme
, on trouve finalement,
qu'on aurait pu trouver dès le début que
pour tout réel
,
ce qui aurait faciliter (grandement) l'exercice…
Correction
On a![$f(x)=2u^2(x)-v(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/1.png)
![$u(x)=\cosh(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/2.png)
![$u'(x)=\sinh(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/3.png)
![$v(x)=\sinh(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/4.png)
![$v'(x)=\cosh(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/5.png)
Ainsi
![$f'(x)=2\tm2u'(x)\,u(x)-2v'(2x)
=4\sinh(x)\cosh(x)-2\cosh(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/6.png)
En revenant à l'écriture exponentielle, cette expression s'écrit aussi,
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=4\tm\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\tm\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}
-2\tm\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\left( e^x-e^{-x}\rp\tm\left( e^x+e^{-x}\rp
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=\left( e^{2x}-e^{-2x}\right)
-\left( e^{2x}+e^{-2x}\rp\\[1em]
&=-2e^{-2x}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/7.png)
Ainsi, pour tout réel
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/8.png)
![$f'(x)<0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/9.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/10.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/11.png)
Remarque: On remarque de plus que
![$f'=g'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/12.png)
![$g(x)=e^{-2x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/13.png)
![$f=g+k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/14.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/15.png)
Enfin, comme
![$f(0)=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/16.png)
![$g(0)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/17.png)
![$k=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/18.png)
![$f(x)=e^{-2x}+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/19.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/20.png)
Remarque, suite:
![\[\begin{array}{ll}
f(x)
&=2\cosh^2x-\sinh2x\\
&=2\lp\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\rp^2-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
&=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}}{2}-\dfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}\\[1em]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/21.png)
Enfin, comme
![$e^{x}e^{-x}=e^0=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/22.png)
![$f(x)=e^{-2x}+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/23.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exhyper_c/24.png)
Tag:Dérivée
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