Éléments caractéristiques d'une projection orthogonale


L'espace $\R^3$ est muni de son produit scalaire usuel. Soit $p$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est

\[A=\dfrac16\lp\begin{array}{ccc}2&2&-2\\2&5&1\\-2&1&5\enar\rp\]
    1. Démontrer que $p$ est un projection.
    2. Déterminer une base de $\ker p$ et de $\text{Im}\,p$.
    3. Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan $\mathcal{P}$ dont on donnera une équation.
  2. Soit $u(x,y,z)\in\R^3$.
    1. Calculer la distance de $u$ au plan $\mathcal{P}$.
    2. En déduire que $\dfrac{|2x-y+z|}{\sqrt6}\leqslant\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

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