Suite récurrente avec une densité de probabilité


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $f$ l'application définie sur $\R$ par:
\[\forall t\in\R,\, f(t)=\dfrac{2e^t}{\sqrt{1+t^2}}\]


  1. Faire une étude rapide de la fonction $f$: domaine de définition, variations, limites aux bornes du domaine de définition, asymptotes éventuelles.
  2. On considère la suite réelle $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = f (u_n)$.
    On admet que, pour tout $t\geqslant0$, on a : $f(t)>t$.
    Étudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
  3. On considère l'application $G$ définie sur $\R$ par
    \[\forall x\in\R,\, G(x)=\int_{-x}^xf(t)dt\]

    Étudier les variations de $G$.
    Étudier la limite éventuelle de la suite $(G(u_n))$.

Correction


Tag:Variables aléatoires continues

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