Minimisation d'une intégrale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Calculer
.
![$\dsp\inf_{a,b\in\R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5/1.png)
Correction
muni du produit scalaire
.
On a alors
,
et, avec
,
![\[\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|^2.
=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|=\|x^2-p(x^2)\|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/5.png)
où
est la projection orthogonale de
sur
. Il s'agit donc
de calculer cette projection. Ceci peut se faire de deux façons.
D'une part, on peut fabriquer une base orthonormale de
par le procédé de Gram-Schmidt
à partir de
et on sait que
![\[p(x^2)=(x^2|e_1)e_1+(x^2|e_2)e_2.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/11.png)
On peut aussi poser a priori
et écrire que
,
.
On obtient le système :
![\[\la\begin{array}{ccc}
\dsp\int_0^1 x^2-(ax+b)dx&=&0\\[.8em]
\dsp\int_0^1 x^3-(ax^2+bx)dx&=&0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/15.png)
qui permet de calculer
et
.
Par l'une ou l'autre méthode, on trouve que
et donc
que
Correction
Soit![$E=\mathcal{C}([0,1])$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/1.png)
![$(f|g)=\dsp\int_0^1 f(t)g(t)dt$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/2.png)
On a alors
![$\dsp\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\|x^2-(ax+b)\|^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/3.png)
![$F=\text{Vect}(1,x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/4.png)
![\[\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|^2.
=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|=\|x^2-p(x^2)\|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/5.png)
où
![$p(x^2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/6.png)
![$x^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/7.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/8.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/9.png)
![$1,x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/10.png)
![\[p(x^2)=(x^2|e_1)e_1+(x^2|e_2)e_2.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/11.png)
On peut aussi poser a priori
![$p(x^2)=ax+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/12.png)
![$x^2-(ax+b)\perp 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/13.png)
![$x^2-(ax+b)\perp x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/14.png)
![\[\la\begin{array}{ccc}
\dsp\int_0^1 x^2-(ax+b)dx&=&0\\[.8em]
\dsp\int_0^1 x^3-(ax^2+bx)dx&=&0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/15.png)
qui permet de calculer
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/16.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/17.png)
![$p\left( x^2\rp=x-1/6$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/18.png)
![$\|x^2-p(x^2)\|=\dfrac1{\sqrt{180}}.$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/19.png)
Tags:Espaces euclidiensIntégrale
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