Minimisation d'une intégrale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Calculer
.
.
Correction
![$E=\mathcal{C}([0,1])$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/1.png)
muni du produit scalaire
.
On a alors
,
et, avec 
,
![\[\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_0^1 |x^2-ax-b|^2dx=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|^2.
=\inf_{f\in F}\|x^2-f\|=\|x^2-p(x^2)\|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/5.png)
où
est la projection orthogonale de 
sur 
. Il s'agit donc
de calculer cette projection. Ceci peut se faire de deux façons.
D'une part, on peut fabriquer une base orthonormale de 
par le procédé de Gram-Schmidt
à partir de 
et on sait que
![\[p(x^2)=(x^2|e_1)e_1+(x^2|e_2)e_2.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/11.png)
On peut aussi poser a priori
et écrire que 
, 
.
On obtient le système :
![\[\la\begin{array}{ccc}
\dsp\int_0^1 x^2-(ax+b)dx&=&0\\[.8em]
\dsp\int_0^1 x^3-(ax^2+bx)dx&=&0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex5_c/15.png)
qui permet de calculer
et 
.
Par l'une ou l'autre méthode, on trouve que 
et donc
que 
Correction
Soit muni du produit scalaire
.On a alors
,
et, avec ,
où
est la projection orthogonale de sur . Il s'agit donc
de calculer cette projection. Ceci peut se faire de deux façons.
D'une part, on peut fabriquer une base orthonormale de par le procédé de Gram-Schmidt
à partir de et on sait que
On peut aussi poser a priori
et écrire que , .
On obtient le système :
qui permet de calculer
et .
Par l'une ou l'autre méthode, on trouve que et donc
que
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